🐢 Công Thức Moa Vrơ
Cái Này Nhân Vật Phản Diện Dị Thường Thận Trọng (Giá Cá Phản Phái Dị Thường Thận Trọng ), Chương 8, Thần võ Giáo Phường ti
1. Về kiến thức: • Hiểu rõ khái niệm acgumen của số phức • Hiểu rõ dạng lượng giác của số phức • Biết công thức nhân , chia số phức dưới dạng lượng giác • Biết công thức Moa - vrơ và ứng dụng của nó 5 trang | Chia sẻ: manphan | Lượt xem: 960 | Lượt tải: 0
Đánh giá: 4.15 (297 vote) Tóm tắt: Công thức Moa-vrơ. zn=rn (cosnφ+isinnφ) (n≥1) z n = r n ( cos n φ + i sin n φ ) ( n ≥ 1 ) z^n=r^nleft (cos nvarphi+isin. Nguôn: 6 Bài 3. Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng - HocDot.com. Tác giả: hocdot.com.
Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \\({\\left( {1 + i} \\right)^{19}}\\) và công thức Moa-vrơ để tính \\(C_{19}^0 - C_{19}^2 + C_{19}^4
Bài viết hướng dẫn cách áp dụng công thức Moa-vrơ (Moivre) để tính căn bậc n của số phức thông qua quá trình thiết lập công thức tổng quát và các ví dụ minh họa đi kèm có lời giải chi tiết. Xem thêm: + Viết số phức dưới dạng lượng giác + Tìm căn bậc hai của một số phức Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức
Theo công thức Moa-vrơ ta có: (cosα+i sinα ) 4 =cos4α+i sin4 α <=>(cos 4 α-6 sin 2 α . cos 2 α+sin 4 α )+4(cos 3 α sinα-sin 3 α.cosα )i=cos4α+i sin4α
5. Ứng dụng của chất béo. a. Vai trò của chất béo trong cơ thể. - Chất béo là thức ăn quan trọng của con người. - Trong cơ thể người, chất béo là nguồn cung cấp và dự trữ năng lượng. - Chất bé còn là nguyên liệu tổng hợp một số chất cần thiết cho cơ thể.
Trương Tam Phong Dị Giới Du , chương 307 của tác giả Tả Tự Bản cập nhật mới nhất, full prc pdf ebook, hỗ trợ xem trên thiết bị di động hoặc xem trực tuyến tại sstruyen.vn.
Công thức Moa-vrơ và ứng dụng. Hướng dẫn học sinh xem SGK trang 204. a) Công thức Moa-vrơ. b) Ứng dụng vào lượng giác. c) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. Học sinh trả lời (ghi công thức) và giải bài tập. Học sinh xem SGK.
vzg9. Ở bài trước chúng ta đã học sơ qua về số phức. Hôm nay chúng ta sẽ học về dạng lượng giác của số phức và công thức Moivre. Xin nhắc lại rằng điểm trọng tâm của số phức là sự ra đời của một con số rất đặc biệt, đó là con số $i$ với tính chất $$i^2 = -1.$$ Số phức có dạng $$a + ib$$ trong đó $a$ và $b$ là hai số thực. Kỳ trước chúng ta đã học về những phép tính đại số cơ bản của số phức. Phép cọng và trừ $$a + i b + c + i d = a+c + i b+d ,$$ $$a + i b- c + i d = a-c + i b - d. $$ Phép nhân $$a + i bc + i d = ac + i ad + i bc + i^2 bd = ac - bd + i bc + ad .$$ Phép chia Sử dụng đẳng thức $$a + i ba - ib = a^2 - i^2 b^2 = a^2 + b^2 .$$ $$\frac{c + i d}{a + i b} = \frac{c + i da - ib}{a + iba - ib} = \frac{ac + bd + iad - bc}{a^2 + b^2} = \frac{ac + bd}{a^2 + b^2} + i \frac{ad - bc}{a^2 + b^2}.$$ Số phức liên hợp $$\overline{a + i b} = a - ib, ~~~~\overline{a- ib} = a + ib.$$ Trị tuyệt đối $$a + ib = \sqrt{a^2 + b^2}.$$ Dạng lượng giác của số phức Hôm nay chúng ta sẽ học về một tính chất rất quan trọng của số phức, đó là mọi số phức $z$ đều có thể viết về dạng lượng giác như sau $$z = r \cos{\phi} + i ~\sin{\phi},$$ trong đó $r = z$. Thật vậy, với $z = a + ib$, chúng ta có $$r = z = \sqrt{a^2 + b^2},$$ do đó $$\frac{z}{r} = \frac{a}{r} + i ~ \frac{b}{r}.$$ Chúng ta có $$\left \frac{a}{r} \right^2 + \left \frac{b}{r} \right^2 = \frac{a^2 + b^2}{r^2} = 1,$$ do đó tồn tại $\phi$ để $$\frac{a}{r} = \cos{\phi}, ~~~~~~ \frac{b}{r} = \sin{\phi}.$$ Suy ra $$\frac{z}{r} = \frac{a}{r} + i ~ \frac{b}{r} = \cos{\phi} + i ~ \sin{\phi}.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác của số phức $$z = r \cos{\phi} + i ~\sin{\phi}.$$ Trường hợp đặc biệt $z = 0$ thì chúng ta có thể chọn $r=\alpha = 0$. Phép nhân của số phức theo dạng lượng giác Dạng lượng giác của số phức rất tiện lợi trong việc lấy tích của hai số phức nhờ vào hằng đẳng thức sau đây $$\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha}\cos{\beta} + i ~\sin{\beta} = \cos{\alpha + \beta} + i ~ \sin{\alpha + \beta} .$$ Do đó nếu chúng ta có hai số phức $u$ và $v$, nếu chúng ta biểu diễn chúng về dạng lượng giác $$u = r \cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha},$$ $$v = s \cos{\beta} + i ~ \sin{\beta},$$ thì tích của chúng sẽ là $$uv = rs \cos{\alpha + \beta + i ~\sin{\alpha + \beta}} .$$ Luỹ thừa và Công thức Moivre Tương tự như phép nhân, phép lấy luỹ thừa cũng rất dễ dàng khi chúng ta viết số phức về dạng lượng giác. Nếu $$u = r \cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha}$$ thì $$u^n = r^n \cos{n \alpha} + i ~ \sin{n \alpha}.$$ Hằng đẳng thức sau đây gọi là công thức Moivre, đây là một công thức rất quan trọng về số phức $$\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha}^n = \cos{n \alpha} + i ~ \sin{n \alpha}.$$ Bây giờ chúng ta làm một số bài tập. Bài toán 1 Giải phương trình bậc hai $$x^2 − 2 x + 4 =0$$ rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác. Lời giải Chúng ta có $$\Delta' = 1^2 - 4 = -3,$$ do đó phương trình này có nghiệm phức $$1 \pm i~ \sqrt{3}.$$ Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$ 1 \pm i~ \sqrt{3} = \sqrt{1^2 + \sqrt{3}^2} = \sqrt{4} = 2.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$1 \pm i~ \sqrt{3} = 2 ~\left \frac{1}{2} \pm i ~\frac{\sqrt{3}}{2} \right = 2 \cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}.$$ Bài toán 2 Giải phương trình bậc hai $$x^2 − x + 1 =0$$ rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác. Lời giải Chúng ta có $$\Delta = 1^2 - 4 = -3,$$ do đó phương trình này có nghiệm phức $$\frac{1 \pm i~ \sqrt{3}}{2}.$$ Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left \frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2} \right = \sqrt{\left \frac{1}{2}\right^2 + \left \frac{\sqrt{3}}{2}\right^2} = 1.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$\frac{1 \pm i ~\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \pm i~ \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos{\frac{\pi}{3}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{3}}.$$ Bài toán 3 Giải phương trình bậc hai $$x^2 − 3 x + 3 =0$$ rồi đưa nghiệm phức về dạng lượng giác. Lời giải Chúng ta có $$\Delta = 3^2 - 4 \times 3 = -3,$$ do đó phương trình này có nghiệm phức $$\frac{3 \pm i~ \sqrt{3}}{2}.$$ Chúng ta đưa nghiệm phức này về dạng lượng giác. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của chúng $$\left \frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2} \right = \sqrt{\left \frac{3}{2}\right^2 + \left \frac{\sqrt{3}}{2}\right^2} = \sqrt{3}.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$\frac{3 \pm i ~\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \left \frac{\sqrt{3}}{2} \pm i ~ \frac{1}{2}\right = \sqrt{3} \cos{\frac{\pi}{6}} \pm i ~ \sin{\frac{\pi}{6}}.$$ Bài toán 4 Tính $1 + i^{2012}$ bằng hai cách, công thức Moivre và nhị thức Newton, rồi suy ra hằng đẳng thức sau $${2012 \choose 0} - {2012 \choose 2} + {2012 \choose 4} - {2012 \choose 6} + \dots + {2012 \choose 2008} - {2012 \choose 2010} + {2012 \choose 2012} = - 2^{1006}.$$ Lời giải Cách thứ nhất chúng ta đưa $1+i$ về dạng lượng giác rồi dùng công thức Moivre. Trước tiên chúng ta tính giá trị tuyệt đối của $1+i$ $$1 + i = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}.$$ Từ đó chúng ta có dạng lượng giác $$1 + i = \sqrt{2} \left \frac{\sqrt{2}}{2} + i ~ \frac{\sqrt{2}}{2} \right = \sqrt{2} \cos{\frac{\pi}{4}} + i ~ \sin{\frac{\pi}{4}}.$$ Dùng công thức Moivre, chúng ta tính luỹ thừa $$1 + i^{2012} = \sqrt{2}^{2012} \cos{\frac{2012 \pi}{4}} + i ~ \sin{\frac{2012 \pi}{4}} = 2^{1006} \cos{503 \pi} + i ~ \sin{503 \pi} = - 2^{1006}.$$ Dùng nhị thức Newton, chúng ta có $$1 + i^{2012} = 1 + {2012 \choose 1} i + {2012 \choose 2} i^2 + {2012 \choose 3} i^3 + {2012 \choose 4} i^4 + {2012 \choose 5} i^5 + \dots + {2012 \choose 2011} i^{2011} + i^{2012}$$ $$= 1 + {2012 \choose 1} i - {2012 \choose 2} - {2012 \choose 3} i + {2012 \choose 4} + {2012 \choose 5} i + \dots - {2012 \choose 2011} i + 1$$ So sánh phần số thực của hai kết quả, chúng ta rút ra được hằng đẳng thức $$1 - {2012 \choose 2} + {2012 \choose 4} - {2012 \choose 6} + \dots + {2012 \choose 2008} - {2012 \choose 2010} + 1 = - 2^{1006}.$$ Chúng ta tạm dừng ở đây. Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau. Bài tập về nhà. 1. Viết các số sau về dạng lượng giác $1 - i$, $3 + 3i$, $\sqrt{3} + 3i$, $3 - \sqrt{3} i$, $2$, $- 7 + 7i$, $3i$. 2. Tìm giá trị tuyệt đối của số phức $\cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha}$. 3. Cho $u = r \cos{\alpha} + i ~ \sin{\alpha}$ và $v = s \cos{\beta} + i ~ \sin{\beta}$, tính $u/v$. 4. Tính $1 + i^{2013}$ bằng hai cách, công thức Moivre và nhị thức Newton, rồi suy ra hằng đẳng thức tổ hợp. 5. Biểu diễn $x$ dưới dạng lượng giác rồi tìm tất cả các giá trị của số phức $x$ sao cho $x^4 = -1$.
Phương pháp 1. Tính căn bậc hai của số phức Căn bậc hai của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^2} = z$. Căn bậc hai của $0$ bằng $0.$ Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^2} = z$ ⇔ ${R^2}c{\rm{os}}2\theta + i \sin 2\theta = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^2} = r\\ 2\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt r \\ \theta = \frac{\varphi }{2} + k\pi , k \in Z \end{array} \right.$ Từ đó suy ra Số phức $z = rc{\rm{os}}\varphi + i\sin \varphi $ có $2$ căn bậc hai là ${{\rm{w}}_1} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right$ và ${{\rm{w}}_2} = \sqrt r \left {c{\rm{os}}\left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right + i \sin \left {\frac{\varphi }{2} + \pi } \right} \right$ $ = – \sqrt r \left {c{\rm{os}}\frac{\varphi }{2} + i\sin \frac{\varphi }{2}} \right.$ 2. Tính căn bậc $n$ của số phức Căn bậc $n$ của số phức $z$ là số phức $w$ thỏa ${w^n} = z$. Với $z \ne 0$ và $z = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ với $r > 0.$ Đặt $w = Rc{\rm{os}}\theta + i \sin \theta $ với $R > 0$ thì ${{\rm{w}}^n} = z \Leftrightarrow {R^n}c{\rm{osn}}\theta + i {\mathop{\rm sinn}\nolimits} \theta $ $ = rc{\rm{os}}\varphi + i \sin \varphi $ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {R^n} = r\\ n\theta = \varphi + k2\pi , k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} R = \sqrt[n]{r}\\ \theta = \frac{\varphi }{n} + \frac{{k2\pi }}{n}, k \in Z \end{array} \right.$ Bằng cách chọn $k = 0, 1, 2, …, n-1$ ta được $n$ căn bậc $n$ của $z$ là ${w_1} = \sqrt[n]{r}\left {\cos \frac{\varphi }{n} + i\sin \frac{\varphi }{n}} \right.$ ${w_2}$ = $\sqrt[n]{r}\left {\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi }}{n}} \right} \right.$ ….. ${w_n}$ = $\sqrt[n]{r}\cos \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right$ $ + i\sin \left {\frac{\varphi }{n} + \frac{{2\pi n – 1}}{n}} \right.$ Ví dụ 1. Tìm căn bậc hai của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác ${\rm{w}} = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i.$ Ta có $w = \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}.$ Đặt $z = r\left {\cos \varphi + i\sin \varphi } \right$ với $r > 0$ là một căn bậc hai của $w$, ta có ${z^2} = w$ ⇔ ${r^2}\left {\cos 2\varphi + i\sin 2\varphi } \right$ $ = \cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ 2\varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} r = 1\\ \varphi = \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in Z \end{array} \right.$ Vậy $w$ có hai căn bậc hai là ${z_1} = \cos \frac{\pi }{6} + i\sin \frac{\pi }{6}$ và ${z_2} = \cos \frac{{7\pi }}{6} + i\sin \frac{{7\pi }}{6}.$ Ví dụ 2. Tính căn bậc ba của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = – 1 + i\sqrt 3 .$ Ta có $w = – 1 + i\sqrt 3 = 2\left { – \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right$ $ = 2\left {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right.$ Suy ra $w$ có môđun $R = 2$ và một acgumen $\theta = \frac{{2\pi }}{3}.$ Do đó, căn bậc ba của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = \sqrt[3]{2}$ và một acgumen $\phi = \frac{\theta }{3} + \frac{{k2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{k2\pi }}{3},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2$ thì $\varphi $ có ba giá trị ${\varphi _1} = \frac{{2\pi }}{9}$, ${\varphi _2} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{8\pi }}{9}$, ${\varphi _3} = \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{4\pi }}{3} = \frac{{14\pi }}{9}.$ Vậy $w = – 1 + i\sqrt 3 $ có $3$ căn bậc ba là ${z_1} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{2\pi }}{9} + i\sin \frac{{2\pi }}{9}} \right$, ${z_2} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{8\pi }}{9} + i\sin \frac{{8\pi }}{9}} \right$, ${z_3} = \sqrt[3]{2}\left {\cos \frac{{14\pi }}{9} + i\sin \frac{{14\pi }}{9}} \right.$ Ví dụ 3. Tính căn bậc bốn của số phức sau và viết dưới dạng lượng giác $w = i.$ Ta có $w = i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}$ có môđun $R = 1$ và một acgumen $\theta = \frac{\pi }{2}.$ Suy ra căn bậc bốn của $w$ là số phức $z$ có môđun $r = 1$ và một acgumen $\varphi = \frac{\theta }{4} + \frac{{k2\pi }}{4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2},k \in Z.$ Lấy $k = 0,1,2,3$ ta có $4$ giá trị của $\varphi$ ${\varphi _1} = \frac{\pi }{8}$, ${\varphi _2} = \frac{\pi }{8} + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{8}$, ${\varphi _3} = \frac{\pi }{8} + \pi = \frac{{9\pi }}{8}$, ${\varphi _4} = \frac{\pi }{8} + \frac{{3\pi }}{2} = \frac{{13\pi }}{8}.$
Căn bậc n của số phứcrcos i sin n r n cosn i sin n I. Công thức Moa-vrơII. Căn bậc n của số Tương như định nghĩa căn bậc hai của số phức z , ta gọi số phức z sao cho z w là một căn bậc n của số phứcw . n là số nguyên cho trước, n>1.- Rõ ràng chỉ có một căn bậc n của w 0 là Khi w 0 , ta viết w dưới dạng lượng giác w Rcos i sin , R 0. Ta cần tìm z r cos i sin , r 0nsao cho z wn- Theo công thức Moa-vrơ, z w có nghĩa làr n cos n i sin n Rcos i sin ,ntức là r R và n k 2 , k Z nTừ đó r nR, k 2n k 2z n R cosn , tức là k 2 i sinnLấy k 0;1; ... ; n 1 , ta được n căn bậc n phân biệt của Ví dụ áp dụngSố phức w i cos2 i sin2có ba căn bậc ba là 13 i z1 cos i sin 662 2 2 1 i sin 3 i z 2 cos 3 3 266 4 4 i sin i z 3 cos 3 3 66trên hình minh họa có ba điểm A, B, C theo thứ tự biểu diễn z1 , z2 , z3 Hình minh họa- Chú ý Nếu w 0 thì các căn bậc n n 3 cho trước của w được biểu diễn trên mặt phẳng phức bởi các đỉnh củamột n-giác đều nội tiếp đương tròn tâm O bán kính n w
công thức moa vrơ
